A: 注意到只有当 $a_0 = 1 \lor a_1 = 1$ 时 $Alice$ 才能赢。

B: 注意到答案是 $\min{mex(a), k - 1}$。

C: 首先注意到最终的答案一定是一个包含了 $k$ 的区间。那么，维护变量 $a, b$，表示从 k 开始往左，右分别有多少个被占领的格子。 然后一直尝试给左边/右边加格子，直到不能加为止。

D： 很有意思的一道题目。 首先，这个题目可以转化为染色。找到最小的 k，使得每一个点都染上了一种颜色。并且，相邻的点对，在同一层的点的颜色不能一样。 那么，我们首先可以注意到 $k > \max_{i}{pnt_i, deg_i}$。其中 $deg_i$ 表示度数，$pnt_i$ 表示第 i 层的点个数。 然后我们发现答案一定可以取到下界。构造方案： 从上到下枚举每一层。将所有点按照父亲的颜色排序，然后枚举每一个点。定义 $x$ 表示所有点的编号加上 $x$ 作为颜色是合法的。那么 $x$ 就是 $mex_{i}{color_{fth_i} - id_i}$。其中 $color$ 表示颜色，$fth_i$ 表示父亲，$id_i$ 表示 $i$ 在层内的编号。

E： 死去的不等式记忆又回来了 愉快推式子。 首先， $\frac{1}{\lcm(x,y)}(x \ge y)$ $=\frac{gcd(x, y)}{xy}$ $\le\frac{x - y}{xy}$ $=\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$

然后我们对原不等式化简，发现最后我们有 $\frac{1}{a_1} \le 1$。 那么，由于 $a_1 \ge 1$，所以 $a_1 = 1$。所以，我们前面的小于等于号必须全部取等。即 $a_{i + 1} - a{i} = \gcd(a_{i + 1}, a_{i})$。 然后 dp 乱搞即可。

F： 首先，平方这个条件很诡异，我们转化为选择两个一样的子序列的个数。 定义 $f_{x, y}$ 表示有多少对子序列，一个从 $x$ 开始，一个从 $y$ 开始，一模一样。 定义：$tree_i$ 表示 $i$ 的子树的点集， s 表示字符串。 转移：$f_{x, y} = [s_x = s_y] + \sum_{a \in tree_x}\sum_{b \in tree_y} [s_x = s_y]f_{a, b}$

G：